📚 Дисциплины по выбору в осеннем семестре 4-го курса

Информация актуальна для 2026-2027 уч.года (2023 год набора).

Статья создана с целью помочь обучающимся 4 курса бакалавриата ФПМИ определиться с дисциплинами по выбору.

Обратите внимание:

• данная дисциплина в осеннем семестре 2026-2027 уч.года проводиться НЕ будет, НЕ выбирайте её в личном кабинете: NLP. Обработка естественного языка
• дисицплины “Робастные методы в математической статистике“ нет в ЛК, но можно подать заявку на инд.план

Для образовательной программы ПМИ.ERP дисциплины по выбору в осеннем семестре 4-го курса НЕ предусмотрены.

В осеннем семестре Вам предстоит выбрать:

1. В большом блоке дисциплин по выбору предстоит выбрать:
   • 4 дисциплины на ПМИ.Математика;
   • 3 дисциплины на ПМИ, ИВТ база;
   • 2 дисциплины на ПМИ.Классика, ПМИ.Информатика, ИВТсп, ИВТф, ПМФ (трек КТ).
2. Для ИВТф, ПМФ (все треки) предусмотрен блок дисциплин по выбору с машинным обучением:
   • Машинное обучение (поток Нейчева);
   • Математические модели машинного обучения (поток Воронцова);
   • Методы и алгоритмы машинного обучения (кафедра МОУ).
3. Для ИВТф, ПМФ дополнительно в зависимости от трека:
   • 2 дисциплины для трека КТ (плюс дисциплины трека);
   • на треках МФ и ЭУ дисциплины по выбору отсутствуют (только дисциплины треков).
4. Для ПМИ.РЭШ предусмотрен отдельный блок по выбору с дисциплинами от РЭШ.

Бывают исключения у тех, кто на инд. плане, а также для студентов на DS-потоке. Тогда можно посмотреть в личном кабинете МФТИ и/или уточнить у специалистов учебного офиса ФПМИ.

После следует зайти в личный кабинет в раздел «Учебный процесс» в подраздел «Выбор дисциплин» и выбрать до 06 сентября понравившиеся дисциплины. Обратите внимание, что на некоторые дисциплины может быть конкурс, поэтому прежде чем выбрать дисциплину, уточните на занятии, что вас готовы взять (если на дисциплине меньше или равно 18 студентов, то конкурса нет). Если в ЛК ошибка в списке дисциплин, она должна исправиться в течение недели.

Замечания по выбору

1. По перезачету преподавательской активности см. статью про дисциплину «Введение в методику преподавания».
2. По перезачету учебных курсов от сторонних организаций см. статью.
3. Если вы хотите взять курсы от МИАН, для этого надо написать ваш запрос Дмитрию Ильинскому (nograhol@gmail.com) для согласования. В случае одобрения, заполните форму на инд. план (см. статью), приложив скриншот с письмом. Учебный офис добавит дисциплины в учебный план (по желанию заменив некоторые альт. курсы).
4. Если у вас есть желание, вы можете взять дисциплины сверх обязательных факультативно.
5. Также вы можете по инд. плану взять дисциплины, читаемые в 3 семестре и/или 5 семестре, если вы до этого их не брали в предыдущих семестрах, либо можно взять дисциплины из блоков по выбору других образовательных программ и/или семестров. Для этого нужно подать заявку на инд. план.

Список дисциплин

Ниже представлен набор дисциплин по выбору для той или иной образовательной программы ФПМИ.

Матрица дисциплин по выбору в осеннем семестре 4-го курса

Описание дисциплин

Дополнительная информация по учебным курсам кафедры АТП расположена по ссылке.

Проектирование программных систем

Дисциплина проектирования программного обеспечения (software design) является одной из ключевых для будущих архитекторов, аналитиков, руководителей проектов, инженеров и разработчиков ПО.
Область проектирования охватывает концепции, модели, методы, программные средства для создания, анализа, развития, сопровождения структур сложных многокомпонентных программных систем, создаваемых совместно с другими разработчиками, как в небольших, так и в крупномасштабных проектах разработки. Владение и применение полученными при изучении дисциплины знаниями, умениями и навыками повышает качество разрабатываемых систем, снижает затраты на их разработку и сопровождение, позволяет быстрее адаптироваться к изменениям в области разработки программ, понимать тренды обеспечения.

Цель дисциплины:

• познакомить студентов с объектно-ориентированными и структурными методами разработки программных систем с применением технологий моделирования;
• дать представление о существующих методологиях проектирования программного обеспечения и выработать у студентов практические навыки по их применению.

Задачи дисциплины:

• освоение студентами базовых знаний в области программной инженерии, моделирования и проектирования программных систем;

• приобретение теоретических знаний в области объектно-ориентированного, структурного проектирования и моделирования программных систем;

• приобретение практических навыков по применению унифицированного языка моделирования;

• приобретение практических навыков командной работы над программными системами;

• приобретение навыков работы с современными инструментами моделирования и проектирования.

Современные компьютерные сети

Дисциплина "Современные компьютерные сети" изучает основы организации, функционирования и управления современными компьютерными сетями. В ходе курса студенты узнают о различных топологиях сетей, протоколах передачи данных, методах маршрутизации, сетевой безопасности и администрирования сетей. Особое внимание уделяется технологиям сетей нового поколения, таким как сети 5G, Интернет вещей (IoT), облачные сети и виртуальные частные сети (VPN). Курс также может включать в себя изучение сетевых протоколов TCP/IP, стандартов Ethernet, Wi-Fi и других технологий передачи данных. Студенты также могут изучать принципы построения высокопроизводительных и отказоустойчивых сетей, а также методы оптимизации и мониторинга работы компьютерных сетей.

Цель дисциплины:

• освоение принципов организации и функционирования компьютерных сетей, особенностей работы в компьютерных сетях, знакомство с современными сетевыми технологиями, получение практических навыков работы в локальных сетях.

Задачи дисциплины:

• научить студентов проектировать и рассчитывать топологии и структуры компьютерных сетей.

Аналитическая теория чисел с элементами геометрии чисел

Аналитическая теория чисел — это раздел теории чисел, который изучает количественные аспекты различных объектов арифметического происхождения при помощи аналитических методов. Геометрия чисел занимается применением в теории чисел геометрических понятий и методов. В первой части этого курса мы обсудим доказательства таких классических фактов, как асимптотический закон распределения простых чисел и теорема Дирихле о простых в арифметических прогрессиях, рассмотрим связь между дзета-функцией Римана и распределением простых, научимся использовать метод комплексного интегрирования. Во второй части мы изучим некоторые вопросы, связанные отклонением последовательностей от равномерного распределения (теорема Рота), а также поймем, как теория чисел может использоваться для приближенных методов (теоретико-числовой метод Коробова).

Цель дисциплины:

• получение студентами представления о классических результатах аналитической теории чисел.

Задачи дисциплины:

• развитие у студентов навыков, необходимых для работы в области теории чисел.

Базисы натуральных чисел

В курсе будут рассмотрены различные результаты аддитивной теории чисел, такие как теорема о многоугольных числах, результаты, связанные с проблемой Варинга и представлением чисел в виде суммы фиксированного количества чисел из заданного множества (как правило, степеней натуральных чисел).

Одна из главных целей курса - познакомить слушателя с многообразием и красотой методов (в том числе элементарных) в этой области математики.

Для изучения курса достаточно владеть базовыми знаниями из математического анализа, линейной алгебры и теории чисел (предполагается, что слушатель умеет работать с асимптотиками величин, матрицами, теоретико-числовыми конструкциями на уровне делимости, китайской теоремы об остатках, квадратичных вычетов и первообразных корней). Курс рассчитан в основном на слушателей 3-4 курса и выше, при сильной подготовке он будет интересен и второкурсникам (или даже первому курсу).

Торическая геометрия

Ознакомление с основными понятиями торической геометрии.Теория торических многообразий в алгебраической геометрии, или торическая геометрия, устанавливает взаимно однозначное соответствие между комплексными алгебраическими многообразиями с действием комплексного тора, имеющим плотную (открытую по Зарисскому) орбиту, икомбинаторными объектами, называемыми веерами. При помощи вееров алгебро-геометрические свойства торических многообразий полностью переводятся на язык комбинаторики.

Главной целью курса является понимание важных свойств когомологии гладкого алгебраического многообразия в торическом многообразии. Особое внимание выделяется следующим темам: двойственность Пуанкаре, двойственность Серра, кольцо Stanley-Reisner, теорема Римана-Роха-Хирцебруха, классы Тодда, смешанная структура Ходжа когомологии аффинной гиперповерхности.

Цель дисциплины:

• главной целью курса является понимание важных свойств когомологии гладкого алгебраического многообразия в торическом многообразии. Особое внимание выделяется следующим темам: двойственность Пуанкаре, двойственность Серра, кольцо Stanley-Reisner, теорема Римана-Роха-Хирцебруха, классы Тодда, смешанная структура Ходжа когомологии аффинной гиперповерхности.

Задачи дисциплины:

• освоение студентами базовых знаний (понятий, концепций, методов и моделей) в области алгебраической геометрии;
• приобретение теоретических знаний и практических умений и навыков в области алгебраической геометрии;
• оказание консультаций и помощи студентам в проведении собственных теоретических исследований в области алгебраической геометрии.

Представления групп и алгебр Ли

Данный курс является продолжением курсов "Группы и алгебры Ли" и "Теория представлений" и посвящен в первую очередь классификациям полупростых групп и алгебр при помощи систем корней. Кроме того, будут изучены представления полупростых алгебр при помощи старших весов представлений. Если останется время, будут отдельно описаны представления групп GL(n) и SL(n).

Цель дисциплины:

• изучить строение полупростых алгебр и групп Ли и классифицировать их представления.

Задачи дисциплины:

• знание основных понятиях теории представлений алгебр Ли и групп Ли;

• умение решать различные конкретные задачи, пользуясь алгебрами Ли;

• приобретение навыков применения техники теории представлений в различных областях математики.

Диффузионные процессы и полугруппы

Курс дает введение в современную теорию диффузионных процессов и включает вероятностные и функционально-аналитические аспекты этой теории. Предполагается знакомство с основами теории случайных процессов и функционального анализа, однако напоминаются основные сведения о стохастических интегралах и стохастических уравнениях. Дается введение в теорию операторных полугрупп, обсуждаются их генераторы, рассматриваются полугруппы уравнения теплопроводности и Орнштейна – Уленбека. Изучаются полугруппы, порожденные диффузионными процессами, их свойства гиперсжимаемости и соответствующие логарифмические неравенства Соболева. Излагаются основы теории уравнений Фоккера – Планка – Колмогорова и мартингальных задач Струка –Варадана.

Цель дисциплины:

• дать введение в современную теорию диффузионных процессов, включая необходимый функционально-аналитический аппарат, в частности основы теории операторных полугрупп и уравнений Фокеера – Планка – Колмогорова.

Задачи дисциплины:

• приобретение умений и навыков для решения задач вероятностными методами.

Математические модели и численные методы в финансах

В курсе рассматриваются вопросы построения математических вычислительных методов в области финансов. В частности в таких разделах финансов как расчет цены и управление рисками производных финансовых инструментов.

Цель дисциплины:

• знакомство с основными понятиями и моделями области численных финансов, приобретения навыков применения вычислительных методов к типовым задачам в этой области.

Задачи дисциплины:

• познакомить с основными моделями численных финансов;
• решать задачи применяя навыки вычислительных методов.

Запуск IT-проектов

Запуск IT проектов ориентирована на реализацию принципов продуктивного обучения. В рамках данной дисциплины студенты продолжают изучение промышленной разработки. Упор делается на организацию командной работы и формирования управленческих компетенций. В течение семестра студенты работают над проектами, уделяя особое внимание прикладным вопросам IT-разработки, в том числе коммерческой её составляющей. В конце семестра проводится презентация прототипов.

Цель дисциплины:

• применить практические и теоретические знания в области разработки IT-проектов, а также получить опыт работы с актуальными технологиями в области проектирования и разработки программных средств.

Задачи дисциплины:

• использование узкоспециализированных технологий промышленного программирования;
• использование навыков командной работы в целях организации командной деятельности над практическими задачами.

Компьютерная графика. Часть 1

Компьютерная графика (CG) — это область, в которой необходимо решать нетривиальные задачи по созданию изображений с использованием видеокарты. CG оказала огромное влияние на развитие игровой индустрии, кинематографа и т.д., сейчас таким образом делается самый разный контент — от 3D-фильмов до архитектурных чертежей.

Курс двухсеместровый. В первом семестре изучаются:

• Работа графического процессора
• Основы освещения
• Инструменты для отладки графических приложений
• Текстурирование
• Графические API
• Графический конвейер
• Архитектура графического процессора и работа с памятью
• «Узкие места» в графических приложениях и оптимизация
• Трассировка лучей
• Создание фотореалистичных изображений

Цель дисциплины:

• формирование базовых знаний и навыков для работы с алгоритмами компьютерной графики.

Задачи дисциплины:

• овладение навыками разработки, отладки и оптимизации алгоритмов компьютерной графики;
• обзор низкоуровневых основ работы с графическими процессорами и графическими API;
• освоение некоторых современных методов компьютерной графики реального времени на практике.

Поддержка и внедрение решений на основе машинного обучения

Современные методы искусственного интеллекта требуют значительных объемов данных и вычислительных ресурсов. В данном курсе рассматриваются методы хранения, обработки и использования при обучении больших объемов данных, а также техники сериализации и доставки моделей в прикладных задачах. Данный курс дополняет курсы Машинного Обучения и Разработки ПО.

Цель дисциплины:

• научиться решать задачи машинного обучения с применением современных методов проведения экспериментов и сериализации моделей.

Задачи дисциплины:

• изучить способы ускорения вычислений при использовании распределенной инфраструктуры;
• изучить подходы к распределенному использованию данных несколькими инстансами.

Сетевые технологии

В ходе курса изучаются основные понятия о сетях, рассказывается о типичных уязвимостях, атаках и методах защиты от них. Курсовой проект в виде сетевого приложения рекомендуется выбирать связанным с научно-исследовательской работой или даже делать части выпускной квалификационной работы бакалавра. Например, можно превратить разработанный Вами в ходе научно-исследовательской работы программный комплекс в сетевой сервис.

Цель дисциплины:

• теоретическое и практическое освоение современных сетевых технологий;

• разработка приложений, использующих сеть.

Задачи дисциплины:

• изучение основ функционирования компьютерных сетей;

• знакомство с наиболее распространёнными сетевыми протоколами;

• написание сетевых приложений;

• использование сетевых технологий в рамках выпускных работ на степень бакалавра.

Методы выпуклой оптимизации в решении выпуклых и невыпуклых задач

Курс будет сопровождаться практическими занятиями, на которых студенты сами смогут имплементировать алгоритмы для решения разных выпуклых и невыпуклых задач на конкретном языке.

Курс начнётся с представления теоретической базы: векторные и аффинные пространства, топология, нормы, двойственность, выпуклые множества и конусы и операции над ними, опорные плоскости, теоремы отделимости, фасады и экстремальные точки и лучи, а также общий вид задач оптимизации, выпуклость и сложность задач оптимизации, классы задач.

Будут представлены простые методы решения выпуклых задач, которые могут быть использованы как элементарные блоки в более сложных алгоритмах: методы одномерного поиска, метод эллипсоидов, аналитические формулы для решения простых квадратичных задач.

Всесторонне будет освещаться теория, методы и приложения линейного программирования (ЛП): полиэдры и полиэдральные конусы, политопы, двойственность, теорема об альтернативе, сложность представления полиэдра, задача ЛП в стандартном виде; симплекс-метод и его варианты, методы внутренней точки, методы решения задач линейной комплементарности; прикладные задачи, сводящиеся к задаче ЛП, линейные релаксации невыпуклых задач, методы решения смешанно-целочисленных ЛП.

Коническое программирование: конусы Лоренца и конично-квадратичные задачи, матричные конусы и полуопределённое программирование, самосогласованные барьеры, методы внутренней точки для программ над симметричными и несимметричными конусами, представимость одного конуса через другой.

Робастная оптимизация: робастный аналог конической программы, его сведение к обычной конической программе, полуопределённые релаксации робастных аналогов.

Приложения конического программирования: описанный эллипсоид минимального объёма, вписанный эллипсоид максимального объёма, оптимизация топологии фермы, построение функций Ляпунова, построение регулятора для линейных динамических систем.

Релаксации: аппроксимации сложных невыпуклых задач выпуклыми, рандомизированная процедура Гёманса-Виллиамсона, теоремы Нестерова и Немировского о качестве релаксаций задачи максимизации квадратичной формы на кубе, релаксации комбинаторных задач.

Полиномиальная оптимизация: положительные полиномы и суммы квадратов, внутренние и внешние моментные релаксации.

Цель дисциплины:

• ознакомление студентов с задачами и методами решения в конической оптимизации, а также с приложениями в выпуклой и невыпуклой оптимизации, моделированием, теорией и построением выпуклых релаксаций для решения невыпуклых задач.

Задачи дисциплины:

• приобретение слушателями теоретических знаний и практических умений и навыков в области конической оптимизации;

• приобретение слушателями навыков владения аппаратом выпуклого анализа, в частности, теории двойственности и её применения;

• приобретение навыков имплементации методов, а также навыков использования оптимизационных пакетов;

• приобретение умения распознавать сложность задач, в частности, представимость в виде конической задачи стандартного вида;

• приобретение навыков моделирования и построения релаксаций для разных классов выпуклых и невыпуклых задач, соответственно.

Введение в методы оптимального управления

В курсе рассматриваются ключевые понятия математической теории оптимального управления. Дается каноническая постановка задачи оптимального управления, а также различные постановки, сводящиеся к канонической постановке. Приводятся примеры из классической механики и управления производственной системы с ограниченными ресурсами. Рассматривается принцип Лагранжа, как универсальный метод поиска оптимального процесса, а также вывода необходимых условий оптимальности. Приводятся два эквивалентных формализма для вывода необходимых условий оптимальности: Лагранжев формализм и Гамильтонов формализм. В рамках такого формализма на основе локальных и игольчатых вариаций, а также пакетов локальных и игольчатых вариаций устанавливаются необходимые условия оптимальности первого порядка в форме принципа максимума Понтрягина. Дается геометрический смысл принципа максимума Понтрягина. Устанавливается достаточность принципа максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с квадратичным функционалом и линейной дифференциальной связью. Отдельно рассматривается задача вариационного исчисления, для которой проводится расшифровка необходимых условий первого порядка, а также устанавливаются следствия из таких условий: условия Вейерштрасса, Лежандра; уравнение Якоби и сопряженные точки. Полученные формулировки, а также следствия из них позволяют за счет их естественного усиления сформулировать также и достаточные условия как для слабого локального минимума, так и для сильного локального минимума. Наряду с изучением индивидуальной точки сильного минимума также рассматривается его погружение в семейство точек сильного минимума для индуцированного семейства задач оптимального управления. Такой формализм известен как метод динамического программирования. В рамках такого формализма получено уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана, которое характеризует оптимальные решения отмеченного индуцированного семейства задач оптимального управления. Излагаются вопросы о структуре дифференциальной связи: множество достижимости; управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость. Установлены теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений, правая часть которых удовлетворяет условиям Каратеодори. Проводится расширение класса управлений вплоть до скользящих режимов, для которых установлена теорема существования оптимального управления. Приводится краткое введение к вопросу изучения класса задач оптимального управления, для которых необходимые условия первого порядка вырожденные: особые управления.

Цель дисциплины:

• изучение основ теории и методов оптимального управления.

Задачи дисциплины:

• освоение студентами базовых знаний в области оптимального управления;

• приобретение навыков по исследованию экстремальных режимов в задаче оптимального управления;

• оказание консультаций и помощи студентам в проведении собственных исследований по прикладным моделям;

• приобретение навыков по постановке и исследованию прикладных задач.

Математика больших данных

Курс ставит целью познакомить студентов с соответствующей математикой, что впоследствии должно помочь им в изучении специализированных разделов анализа данных (машинного обучения, статистики, обучения с подкреплением, численных методов оптимизации, моделирования больших сетей и т.д.).

В первой части курса акцент будет сделан на явлении концентрации меры. Начиная с классических результатов Гаусса, Максвелла, Пуанкаре, Леви, Мильмана, планируется постепенно перейти к современным результатам и приложениям, в том числе, возникающим в разнообразных задачах анализа данных.

Во второй части курса классическая теорема о SVD-разложении и его различные обобщения будут продемонстрированы в приложениях к данным, хранящимся в многомерных массивах. В заключительной третьей части курса будут рассмотрены вопросы, связанные с численными методами решения задач (выпуклой) стохастической оптимизации в пространствах больших размеров. Такие задачи часто возникают в разнообразных приложениях, в том числе, в анализе данных (принцип максимального правдоподобия в статистике, минимизация риска в машинном обучении).

Цель дисциплины:

• ознакомление студентов с некоторыми типами оптимизационных задач, возникающих в современном анализе данных, вопросами теории адаптивных численных методов первого порядка для задач минимизации, вариационных неравенств, седловых задач, основами теории методов для задач невыпуклой оптимизации.

Задачи дисциплины:

• приобретение слушателями теоретических знаний и практических умений и навыков в области концентрации меры и ее приложений;

• приобретение слушателями навыков владения аппаратом матричных разложений;

• владение общим подходом к решению широкого класса прикладных задач анализа данных, допускающих математическую формализацию;

• подготовка слушателей к изучению смежных математических дисциплин, связанных с анализом данных, машинным обучением, оптимизацией;

• приобретение навыков приложения концентрации меры и матричных разложений в других естественнонаучных дисциплинах.

Подготовка к участию в олимпиадах по математике

Данная дисциплина предназначена для студентов, желающих успешно выступать на математических олимпиадах. В ходе обучения студенты изучат различные темы математики, такие как теория чисел, геометрия, комбинаторика, алгебра и другие. Они будут решать сложные задачи, требующие глубокого понимания математических концепций и навыков логического мышления. Кроме того, студенты будут знакомиться с различными методами решения задач, а также с основными стратегиями подготовки к олимпиадам.

Цель дисциплины:

• Развить у студентов глубокое понимание математических концепций, улучшить их навыки решения сложных задач, подготовить их к успешному участию в математических олимпиадах различного уровня (школьного, городского, регионального, всероссийского, международного).

Задачи дисциплины:

• углубление знаний по математике;

• развитие навыков решения нестандартных задач;

• развитие аналитических и творческих способностей;

• развитие логического мышления и способности к абстрактному мышлению.

Операционные системы

Курс направлен на изучение основных принципов и функций операционных систем, необходимых для эффективного управления ресурсами компьютера. В ходе изучения студенты ознакомятся с основными компонентами операционных систем, такими как планирование процессов, управление памятью, вводом-выводом и файловой системой. Курс включает в себя изучение различных алгоритмов планирования процессов, методов синхронизации и взаимодействия процессов, а также механизмов обработки прерываний. Студенты также узнают о методах обеспечения безопасности в операционных системах и принципах построения микроядерных систем.

Цель дисциплины:

развить у студентов глубокое понимание принципов работы операционных систем, как посредников между аппаратным обеспечением компьютера и программным обеспечением. Обучить студентов анализировать, проектировать и использовать операционные системы, учитывая особенности современных компьютерных систем.

Задачи дисциплины:

• дать понимание взаимосвязей между различными компонентами операционной системы;
• разработка и анализ алгоритмов для решения задач управления процессами, памятью, вводом/выводом.

Робастные методы в математической статистике

Дисциплина посвящена изучению методов анализа статистических данных, обладающих высокой устойчивостью к нарушению классических предположений о структуре выборки, таких как нормальное распределение, однородность дисперсий и отсутствие выбросов. Основное внимание уделяется разработке и применению робастных методов, направленных на повышение надежности и достоверности выводов в ситуациях, когда традиционные подходы теряют эффективность.

Программа курса охватывает широкий спектр теоретических и практических аспектов, начиная с базовых принципов робастности и заканчивая современными алгоритмами и приложениями в экономике, финансах, медицине и социологии. Особое внимание уделено вопросам диагностирования выбросов, выбора оптимального подхода к обработке данных и адаптации статистических моделей к нестандартным условиям.

Студенты познакомятся с ключевыми методами робастной оценки параметров, моделями регрессии, проверкой гипотез и компьютерными средствами поддержки анализа данных.

Цель дисциплины:

• дисциплина направлена на изучение методов анализа статистических данных, устойчивых к наличию выбросов и нарушений стандартных предположений распределений случайных величин.

Задачи дисциплины:

• рассмотрение классических и современных подходов к построению устойчивых оценок параметров распределения, включая медианные оценки и оценки типа Хубера;
• овладение методиками выявления и минимизации воздействия аномалий ("выбросов") на качество выводов;
• использование робастных аналогов метода наименьших квадратов (например, МНК-Хубер), позволяющих снизить чувствительность к выбросам и повысить надежность результатов.

Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии

Курс относится к теории гиперграфов — бурно развивающемуся разделу математики, возникшему на стыке комбинаторики, геометрии, топологии и программирования. Теорема Радона. Любые 4 точки плоскости можно разбить на два множества, выпуклые оболочки которых пересекаются. Теорему Радона обобщает теорема Тверберга: любые 3r − 2 точки плоскости можно разбить на r множеств, выпуклые оболочки которых имеют общую точку. Топологическая теорема Радона. Для любого непрерывного отображения тетраэдра в плоскость либо образ некоторой вершины лежит на образе противоположной грани, либо образы некоторых противоположных ребер пересекаются. Эти теоремы можно обобщить и на d-мерное евклидово пространство R d . Легко сообразить, как сформулировать ‘топологическую теорему Тверберга’ для R d . Последняя доказана в случае, когда r — степень простого. Контрпримеры для других r получены в 2015 году. Доказательство этих результатов — пример красивого и плодотворного взаимодействия комбинаторики, алгебры и топологии. Будет приведено упрощенное изложение указанных результатов. Основные идеи будут представлены на ‘олимпиадных’ примерах: размерности не выше 3, на простейших частных случаях, свободных от технических деталей, и со сведением к необходимому минимуму научного языка. За счет этого курс доступен для начинающих, хотя содержит красивые сложные результаты.